[IstitutoGiorgioColli] GiorgioColliIndovinello http://www.istitutocolli.org/wiki/GiorgioColliIndovinello [IstitutoGiorgioColli] - This channel will provide information on changes to GiorgioColliIndovinello it-IT AndreaRossato 2012-02-05T21:25+01:00 Copyright (C) 2000 - 2012 IstitutoGiorgioColli. Verbatim copying and distribution of this site are permitted worldwide without royalty in any medium provided this notice is preserved. Modifications may occur only on this site. daily 1 2004-01-01T12:00+00:00 1440 GiorgioColliIndovinello http://www.istitutocolli.org/wiki/GiorgioColliIndovinello/show?time=2004-12-18+11%3A39%3A45 Changes to GiorgioColliIndovinello made by AndreaRossato on Sat, 18 Dec 2004, 11:39:45 +0100 Additions:

“L’INDOVINELLO PIU’ CONFUSO DEL MONDO”

di Gaetano Arezzo
 Contents 
Premessa
Veri e presunti enigmi
“L’indovinello più difficile del mondo”
Secondo sotto-rompicapo
Terzo sotto-rompicapo
La presunta soluzione
Considerazioni critiche generali
Considerazioni conclusive
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE


Premessa

L’educazione logica non è certo riducibile a quanto esplicitamente indicato dai programmi ministeriali per la scuola primaria,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché da un lato il plesso delle tematiche meritevoli di precoce apprendimento (ma anche di apprendimento permanente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? lifelong) coincide con un complesso ambito interdisciplinare (sintattico-semantico-pragmatico-topologico-matematico-retorico) assai più ampio di quanto previsto dai predetti programmi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dall’altro perché l’educazione logica non può rinunciare ad una sua connaturata dimensione di “trasversalità”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero di presenza organica in tutte le discipline e in tutti i momenti salienti del processo educativo. Nè si deve peraltro dimenticare che capacità come il saper distinguere il discorso sensato da quello insensato e il saper riconoscere i loci communes argomentativi della politica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dell’economia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? della propaganda,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? del proselitismo ideologico e religioso e della pubblicità non possono non essere adeguatamente coltivate da parte di chiunque abbia a cuore la formazione di una sana coscienza critica nelle nuove generazioni di cittadini.
Non si può dunque mancare di consigliare agli educatori un personale (auto)addestramento nelle problematiche d’ordine logico afferenti all’insieme dei campi di apprendimento cui si introducono i discenti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come pure la costruzione di un repertorio di strumenti (didattici e ludico-esercitativi) idonei a motivare ed innescare nei discenti una riflessione individualizzata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nonchè autonome capacità di ulteriore apprendimento personalizzato.
In questa prospettiva trova spazio il presente lavoro,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con la sua proposta di analisi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? logica e logico-didattica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? di un enigma avente rilevanza emblematica ai fini della chiarificazione di certi snodi essenziali della polarità “logico-illogico”. La trattazione cercherà di uniformarsi a standards di competenza logica tutt’altro che specialistici,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nella convinzione che l’eventuale carenza di sofisticazione tecnica sia compensata dall’auspicata maggiore comprensibilità del discorso anche -forse- da parte di giovanissimi studenti di scuola secondaria.

Veri e presunti enigmi

Continuano a suscitare forti perplessità i veri o presunti enigmi e paradossi logici,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? solubili o insolubili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come pure le “aporie” e le antinomie di cui è piena la storia del pensiero filosofico e scientifico e di cui la celebre “antinomia di Russell” costituisce un esempio particolarmente lucido,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? formalmente ben focalizzato e ben chiarificato. “L’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento” si chiede Russell “comprenderà se stesso come elemento?”. Ebbene,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? al quesito non si dà risposta univoca. Se infatti si assume che l’insieme in questione comprende se stesso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ne deriverà che allora non è più l’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento; se si assume che non comprende se stesso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora non è più l’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento. L’esito dell’argomento è pertanto “antinomico”: comunque si risolva,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? si cade in un’insanabile negazione delle premesse. Con la sua antinomia Russell giunge in effetti ad un alto livello di consapevolezza dell’intrinseca struttura tipica -o addirittura “archetipica”- dei paradossi logici; ma al tempo stesso l’autore apre la strada ad una possibilità di evitamento delle antinomie. La “terapia anti-antinomica immunizzante” proposta dal coautore dei “Principia Mathematica” consiste essenzialmente nella “teoria dei tipi”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ossia nel rilevare come le antinomie sorgano allorchè uno o più enunciati (ovvero uno o più insiemi) implichino un auto-riferimento diretto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o un autoriferimento simmetrico/speculare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o un autoriferimento circolare (fra due o più enunciati o insiemi dello stesso livello o “tipo”),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o un auto-riferimento inglobante una generica “totalità” di enunciati o insiemi del proprio stesso tipo. Ne consegue la necessità di “prescrivere” agli enunciati o agli insiemi di riferirsi esclusivamente ad enunciati o insiemi di altro tipo (v. Russell e Whitehead,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1910-13). “L’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento” dovrà dunque intendersi come “l’insieme di tutti gli altri insiemi che non comprendono se stessi come elemento”. La soluzione di Russell ha però il limite che consiste nel non vagliare criticamente le modalità di costruzione delle enunciazioni paradossali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel non porsi i dovuti problemi sulla plausibilità sintattica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? semantica e soprattutto pragmatica delle enunciazioni antinomiche. Russell non scava nelle condizioni genetiche e nelle ragioni di fondo del sorgere delle antinomie.
I presunti “enigmi” apparentemente solubili ma contraddistinti da una troppo sofisticata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? controintuitiva procedura di risoluzione costituiscono nella gran parte dei casi il risvolto simmetrico delle antinomie,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel senso che certe presunte soluzioni degli enigmi non appaiono logicamente plausibili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e si prestano anzi ad insormontabili obiezioni per la loro intrinseca aporeticità o autocontraddittorietà (mascherata da un’apparente plausibilità verbale),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e soprattutto per il loro eccessivo fondarsi su pure e semplici formulazioni linguistiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non traducibili in limpide strutture schematico-topologiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? le sole suscettibili di autentica verifica intersoggettiva e di essere rapportate ad un’irrinunciabile dimensione pragmatica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? unico terreno idoneo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in ultima istanza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per sceverare il discorso sensato da quello insensato. Non appare minimamente superabile un tipico leit-motiv della riflessione del compianto Giorgio Colli (accompagnata da lucide argomentazioni come quelle enunciate nelle pagine conclusive di Filosofia dell’Espressione): ossia la convinzione che non può esistere una pura “logica formale”.
A questi motivi di perplessità ed insoddisfazione cercherà di fornire qualche ipotesi di risposta il presente lavoro,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che prenderà in esame una particolare ed aggiornata forma di “rompicapo” (il presunto “rompicapo più difficile del mondo”) confrontandone i passaggi e le difficoltà aporetiche con le più note aporie della tradizione. Dal lavoro di setaccio così effettuato si trarranno poi talune riflessioni d’ordine più generale.

“L’indovinello più difficile del mondo”

Su “La Repubblica” del 16 aprile 1992 comparve sul paginone centrale un lungo articolo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a firma di George Boolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? intitolato “L’indovinello più difficile del mondo”. Un elzeviro collocato in posizione mediana,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? firmato da Massimo Piattelli Palmarini,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? accreditava l’indovinello presentato da Boolos (in realtà già prima elaborato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in una forma semplificata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? da Raymond Smullyan - v. Smullyan,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1999) come “l’enigma di tutti gli enigmi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? cioè l’indovinello più difficile di ogni tempo”. Ad un’attenta analisi l’indovinello in questione si rivela come una variante sommativa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? particolarmente tortuosa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dei più classici enigmi escogitati nel corso dei secoli.
Il testo dell’indovinello è il seguente:
“Ci sono tre oracoli diversi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che possiamo chiamare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per esempio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? A,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? B,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e C. Uno di loro dice sempre e solo il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un altro dice sempre e solo il falso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e il terzo dice il vero o il falso in modo completamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? radicalmente imprevedibile (…) ci risponderanno nella loro lingua,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nella quale le parole per il ‘sì’ e per il ‘no’ sono ‘da’ e ‘ja’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e non sappiamo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? purtroppo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quale di questi suoni diversi significa ‘sì’ e quale significa ‘no’. Come fare? Quali domande rivolgere ai tre oracoli per smascherarli? (…) facendo solo tre domande,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che ammettono ciascuna una risposta costituita da un semplice ‘sì’ o un semplice ‘no’”.
Primo sotto-rompicapo
A questo punto Boolos afferma che
“per trovare la soluzione converrà partire da tre rompicapi più semplici e poi combinare queste soluzioni tra di loro”;
ed ecco il
“Primo sotto-rompicapo. Io metto tre carte da gioco,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? coperte,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? una accanto all’altra in fila orizzontale su un tavolo. Di queste tre carte due sono assi e una è un fante. Io so qual è il fante e quali sono i due assi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma voi no. Il vostro compito è di individuare uno dei due assi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? indicandomi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? senza scoprirla,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? una delle tre carte e facendomi una sola domanda che ammette una semplice risposta ‘sì’ oppure ‘no’ (…) io risponderò il vero se voi (a vostra insaputa) avete indicato un asso; e risponderò,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? invece,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a casaccio il vero o il falso se (sempre a vostra insaputa) avete indicato il fante”.
La soluzione del sotto-rompicapo è fornita qualche capoverso più avanti:
“Indicate la carta centrale e chiedetemi: ‘La carta di sinistra è un asso?’ Se io rispondo ‘sì’ scegliete la carta di sinistra. Se io rispondo ‘no’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? scegliete la carta di destra. Così facendo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? siete certi di scoprire un asso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? indipendentemente da qual è la carta centrale.
Infatti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? certamente la carta centrale è un asso o non lo è. (Una considerazione perfettamente ovvia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? sulla quale ritorneremo alla fine dell’articolo). Se (a vostra insaputa) la carta centrale è un asso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora io rispondo dicendo la verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? se se io rispondo ‘sì’ la carta di sinistra è davvero un asso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e se io rispondo ‘no’ la carta di destra è davvero un asso. Se la carta centrale è,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? invece,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il fante,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora io rispondo a casaccio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma ambedue le altre due carte sono assi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi scoprirete sempre e comunque un asso adottando la soluzione che ho suggerito”.
La soluzione data da Boolos al primo sotto-rompicapo è accettabile,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche se là dove dovrebbe chiarire i termini del problema ci appare laconica -quasi brachilogica- e,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per contro,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? là dove dovrebbe prospettare lo schema strutturale dell’enigma,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ci appare mantenuta sul piano delle argomentazioni meramente verbali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? prive di qualsiasi solido aggancio con un’auspicabile dimensione schematico-topologica che invece riteniamo non debba mai tralasciarsi in questo genere di riflessioni. Forniamo dunque una soluzione sostanzialmente omologa rispetto a quella di Boolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma strutturalmente più semplice a soprattutto topologicamente configurata.
Indicando,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ad esempio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la carta posta a sinistra (o quella a destra,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il che dà luogo semplicemente ad un’inversione simmetrica dei successivi passaggi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? mantenendone pienamente il valore logico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o quella posta davanti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o dietro: in una parola,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la carta posta ad uno degli estremi dello schema triadico) si chiede: “Questa carta è diversa da quella centrale?”. Percorriamo adesso le varie possibilità di risposta. Nel caso di una risposta veritiera un “sì” rivela,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? procedendo da sinistra a destra: A (asso) - F (fante) - A (asso) oppure F - A - A. Un “no” rivela: A - A - F. Nel caso di una risposta “inaffidabile” la carta indicata sarà (come da assunto preliminarmente enunciato) necessariamente un fante e di conseguenza la carta centrale e quella di destra saranno assi (F - A - A). Dunque,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un “sì” assicura comunque un asso nella carta di destra; un “no” un asso in posizione centrale.

Secondo sotto-rompicapo

Dopo aver assunto come ipotesi preliminare il fatto d’aver scoperto che l’oracolo di fronte a noi è sicuramente il Veritiero o il Menzognero (uno dei due,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non ancora svelatosi nella sua specificità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma comunque non l’Ambiguo),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Boolos afferma:
“Non dobbiamo chiedere all’oracolo direttamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? brutalmente: ‘E’ Dushanbe in Kirghizistan?’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma piuttosto: ‘Dici tu il vero se e solo se Dushanbe è in Kirghizistan?’ (…) 1) L’oracolo è veritiero e Dushanbe è in Kirghizistan,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi la risposta è ‘sì’ (ricordiamoci che l’oracolo ora ci risponde in italiano). 2) L’oracolo è veritiero e Dushanbe non è in Kirghizistan. La risposta è ‘no’. 3) L’oracolo è menzognero e Dushanbe non (sic! N.d.r.) è in Kirghizistan. La risposta sarà ‘sì’ perché solo una delle due frasi di partenza è vera,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi la risposta corretta sarebbe ‘no’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma l’oracolo è menzognero e risponderà,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? invece,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con un ‘sì’. 4) L’oracolo è menzognero e Dushanbe non è in Kirghizistan. Con un ragionamento analogo verifichiamo che la risposta ora sarà ‘no’ (…) la risposta alla nostra domanda (…) sarà sempre e comunque ‘sì’ se Dushanbe è davvero in Kirghizistan; sempre e comunque ‘no’ se Dushanbe non è davvero in Kirghizistan. Questo vale a prescindere dal fatto che l’oracolo sia veritiero o menzognero”.
Le perplessità suscitate da questa presunta soluzione non sono poche né di poco conto. Innanzitutto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel punto 3) compare un fuorviante errore di stesura: un “non” che contraddice tutta l’intenzione enunciativa dell’intero paragrafo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il quale assume un senso soltanto se si differenzia dal punto 4) e dunque se recita ‘D. è in K.’. In secondo luogo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la stessa formulazione della domanda (“Dici tu il vero se e solo se D. è in K.?”) non appare convincente.
Un rispondente veritiero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? qualora sappia che D. non è in K.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? si troverà in posizione conflittuale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? giacchè se deve mantenere rigorosamente la consegna di dire sempre e soltanto la verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dovrà farlo con esaustiva,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ineccepibile chiarezza (o meglio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con la massima esaustiva chiarezza compatibile con le possibilità comunicative del linguaggio usato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fatalmente mai perfetto né assolutamente inequivoco) e quindi dovrà fornire una risposta articolata che sceveri i valori di verità o falsità delle componenti logico-enunciative del quesito proposto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? apparentemente semplice,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in realtà composito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per non dire complesso. Ma si trova invece costretto ad esprimere un laconico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? insufficiente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? oggettivamente falso e fuorviante monosillabo di conferma o di smentita. Rispondendo seccamente “no” rischia oltretutto di essere confuso con il menzognero del caso 4) e di introdurre così un insanabile fattore di confusione per l’interrogante.
In altre parole,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il quesito è mal posto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché artificiosamente composito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché intimamente contraddittorio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché “delirante” rispetto alle normali modalità d’uso comunicativo del linguaggio.
Qualora il Veridico sappia che D. è in K.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? egli non accetterà di attestare con un “sì” il fatto che dica il vero “se e solo se” D. è in K.; anzi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un autentico Veritiero non potrà che insorgere contro questa falsante limitazione della sua veridicità e sarà piuttosto indotto a proclamare: “No; io dico il vero a prescindere da dove si trovi D.”. Il suo eventuale rispondere con un secco “sì” deriva dall’obbligo di subire un gioco arbitrariamente imposto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che lo degrada a “larva” di veridico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anzi a diàbolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a sostanziale “fuorviatore”.
Quanto all’oracolo menzognero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rispondendo seccamente “sì” (se D. è in K.) si definisce in pratica “veritiero se e solo se D. è in K.”. Ma se la sua vincolante consegna sta nel dire l’esatto opposto della verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora deve spacciarsi per “veritiero a prescindere da dove si trovi D.”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e dunque la sua risposta dovrebbe consistere in un secco “no”. Il Mendace si trova pertanto in una posizione conflittuale analoga a quella del Verace del caso 1). Il suo “sì” è una “larva” di mendacio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un’arida,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? forzata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? incompleta,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fuorviante risposta ingiunta dall’arbitrio di chi ha escogitato il (cosiddetto) enigma.
Se D. non è in K.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rispondendo “no” il Menzognero afferma in pratica: “non dico il vero se e solo se D. è in K.”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero “dico il vero se e solo se D. non è in K.”. Ma questa è almeno parte della verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e non è in ogni caso rispondente al criterio della Menzogna Totale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? secondo cui il Mendace dovrebbe sempre e comunque spacciarsi per il Verace.
In conclusione il secondo sotto-rompicapo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a differenza del primo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? appare mal formulato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ambiguo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? disorientante e del tutto inservibile ai fini della soluzione del (presunto) “indovinello più difficile del mondo”.

Terzo sotto-rompicapo

In quanto conseguente alla (presunta,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in realtà inconcludente) soluzione del secondo sotto-rompicapo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? teso alla preliminare scoperta del Veritiero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il terzo sotto-rompicapo (“Chiediamo all’oracolo che sappiamo essere verace…”) non risolve né supera le insormontabili ambiguità del secondo. Non sarà dunque necessario analizzarlo.

La presunta soluzione

Alla luce delle osservazioni critiche formulate sui sotto-rompicapi procediamo ora ad un’analisi della presunta soluzione fornita da Boolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il quale così propone:
“Rivolgiamoci all’oracolo A (cioè al primo oracolo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? qualunque esso sia),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e facciamogli la prima domanda. Eccola: ’Significa da quello che noi intendiamo per sì se e solo se tu sei verace se e solo se l’oracolo B è quello Imprevedibile?’”.
Ci si potrebbe chiedere preliminarmente il motivo dell’inutile e fuorviante affastellarsi “a catena” delle condizioni (“se e solo se…se e solo se..”) con il conseguente possibile,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? inestricabile equivoco di una doppia condizione non sommativa bensi “moltiplicativa”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quando un’enunciazione meno oscura e meno scorretta sarebbe stata: “se e solo se… e se e solo se…”; ma non sottilizziamo. A questo punto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? se l’oracolo interrogato è verace (A ver.) e se la situazione degli altri oracoli è (schematicamente) B impr. e C mend.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la risposta sarà ‘da’ (= sì),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? mentre se si troveranno B mend. e C impr. la risposta sarà ‘ja’ (= no).
Ma se l’interrogato è mendace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rispondendo dovrà simultaneamente: a) contraddire la verità o la falsità di una clausola (‘se e solo se B è impr.’),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero spacciarla comunque per ciò che non è: vera se falsa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? falsa se vera; b) affermare falsamente o lasciar credere d’essere il Verace; c) dire il contrario di ciò che direbbe il Verace pur spacciandosi per il medesimo; d) invertire il senso di ‘da’ e ‘ja’. Ebbene,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in queste condizioni una risposta univoca risulta impossibile. Se l’oracolo optasse per falsificare soltanto parte delle suddette condizioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? farebbe una scelta del tutto arbitraria e praticamente “casuale”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? divenendo in tal modo indistinguibile dall’oracolo Ambiguo. Se optasse per falsificare tutte le condizioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rimarrebbe di fatto paralizzato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in quanto l’inversione falsificante di ciascun elemento si ripercuoterebbe ciclicamente sugli altri elementi oggetto del quesito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in una spirale senza fine. In altre parole: se deve negare d’essere il Mendace (condizione fondamentale ed esplicitamente posta dalla domanda),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e quindi spacciarsi per il Verace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come potrà invertire i rispettivi valori di verità o falsità di ciascuna delle condizioni contemplate dal quesito? E se attua tale inversione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come potrà spacciarsi per il Verace? E se elude del tutto il problema dello spacciarsi per Verace: a) come potrà con ciò stesso dimostrarsi autentico Mendace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero “sistematico negatore dell’implicito valore di verità o falsità di tutte le asserzioni” e dunque distinguersi rispetto ad un occasionale ingannatore o all’oracolo Imprevedibile?; b) con quale ordine di priorità (che non è affatto indifferente) dovrà capovolgere l’implicito valore di verità o falsità delle altre condizioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fra loro già interconnesse dalla struttura stessa del quesito?; c) dovrà capovolgere la verità o falsità di ciascuna condizione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? approdando poi ad un tipo di risposta conclusiva (sintesi complessa delle singole risposte falsanti sulle diverse condizioni) che sarebbe la stessa del Verace (identificandosi di fatto con quest’ultimo)?; o d) dovrà comunque dare la risposta contraria a quella del Verace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche se il combinarsi delle menzogne dovesse infine approdare alla stessa risposta di quest’ultimo (come accade in altri paradossi del genere,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quali “l’enigma del condannato” -che è però un enigma plausibile- ovvero delle due porte -conducenti l’una alla morte,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? l’altra alla fuga- e delle due guardie,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? l’una veritiera e l’altra menzognera)?
Ma soprattutto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché mai il Mendace dovrebbe sentirsi vincolato a rispettare la consegna logica (ovvero l’obbligante validità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? aprioristicamente assunta) del “se e solo se”? Non sarebbe proprio questo il primo caposaldo da sgretolare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ai fini dell’efficacia fuorviante d’una risposta radicalmente mendace?
Quale poi sia l’affidabilità della risposta dell’eventuale oracolo Imprevedibile (cui Boolos inspiegabilmente attribuisce un rigoroso rispetto dei “se e solo se” compresi nella domanda) lo si può immaginare senza difficoltà.
A questo punto soffermarsi sulla seconda e sulla terza domanda è del tutto superfluo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? sia perché fondate sulle presunte risultanze della prima (rivelatasi inconcludente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anzi improponibile),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? sia perché infarcite di ulteriori “se e solo se” esposti alle identiche insolubili difficoltà di quelli sopra analizzati.

Considerazioni critiche generali

L’”indovinello più difficile del mondo” si pone su un piano argomentativo analogo ma inverso rispetto a quello delle antinomie consacrate da millenni di tradizione. Là dove gli argomenti “classici” (come quello arcinoto del “mentitore”) hanno un esito aporetico per cui si innesca una “spirale senza fine”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? gli enigmi come quello di Boolos puntano invece -illusoriamente- ad una conclusione risolutiva del problema enunciato. La questione cruciale risiede nella valutazione della natura degli enigmi proposti e del contesto argomentativo in cui si collocano.
Si prenda,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ad esempio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? l’accennato enigma del “mentitore”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ossia di colui che asserendo “Io mento” (intendendo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel senso più lato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “mento sempre,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? abitualmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche in questo stesso istante e in questo stesso mio dire”) davvero sta mentendo se assumiamo che dica il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e dice il vero se assumiamo che stia mentendo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e per entrambe queste assunzioni di senso in prima istanza si apre un “rimbalzo all’infinito”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per cui se mente dice il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma allora mente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma allora dice il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e così via (v. Diogene Laerzio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1976).
Tuttavia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ben diverso si presenta il problema se si tiene doverosamente conto della dimensione pragmatica del discorso e del relativo contesto fattuale.
Se infatti il mentitore deve dire sempre,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? comunque e soltanto il contrario della verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e in quanto tale risulta pubblicamente noto ed anche pienamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? autoconsapevolmente coerente in questa sua singolare qualità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? chiunque abbia a che fare con lui lo giudicherà non un vero Mentitore,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? bensì un estroso Veridico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che dicendo sietematicamente e conclamatamente il contrario della verità indica invece di fatto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? chiaramente ed inequivocabilmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? proprio la verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? poiché (sa bene che) coglierà il vero chi (sa altrettanto bene che) dovrà optare per ciò che è l’opposto delle sue asserzioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? mendaci solo da un punto di vista linguistico-formale.
Chi intende mentire non formalmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? bensì in modo realmente efficace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non deve rendersi pubblicamente noto in quanto sistematico mentitore; deve,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? al contrario,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dissimularsi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? alternando e combinando avvedutamente verità e menzogna,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ed apparire credibile agli altri,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allo scopo di ingannarli e fuorviarli.
In conclusione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la menzogna autoproclamata e comunque notoria per la sua sistematicità risulta autocontraddittoria,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e perciò,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? paradossalmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fonte attendibile di verità.
Per quanto riguarda un ipotetico rispondente Inaffidabile (spesso presentato anche in molti altri presunti enigmi tramandati dalla storia e frequentissimamente messo in scena dai logici contemporanei),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? valgono analoghe considerazioni. Se è noto per la sua indefettibile attitudine,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nessuno praticherà con lui alcuna forma di interazione comunicativa (se non per estemporanea volontà di gioco). La sua consapevole inaffidabilità (avente forse un senso ludico ma del tutto priva di senso pragmatico anche per lui stesso) appena resa nota agli altri si autovanifica ipso facto a tutti gli effetti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con l’immediata caduta d’ogni ulteriore interazione comunicativa che non sia di intenzionale delirio ludico.
L’Inaffidabile è dunque logicamente -e non solo pragmaticamente- un Inesistente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? tanto nella realtà vissuta quanto negli enigmi costruiti a tavolino giocando con le parole. L’Inaffidabile non è in grado di rispettare alcuna “consegna” logico-comunicativa né alcun impegno dialogico o comportamentale. Non accetta nessun “se e solo se” né alcun’altra condizione al mondo. La sua presenza negli enigmi è dunque del tutto insignificante.
Il Mendace sistematico e l’Inaffidabile sistematico sono pertanto figure artificiose,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? irreali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? generate dalla fantasia linguistica ma del tutto destituite di senso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anzi di fatto “impossibili”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in una dimensione pragmatica. Il linguaggio può in effetti permettersi assemblaggi impropri,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? del tutto impraticabili dal punto di vista della realtà fisica e dell’esperienza vissuta.
E’ un po’ quello che accade nelle “figure impossibili” di Escher.
La produzione grafica di Escher è contraddistinta dall’attitudine a sperimentare insolite composizioni spaziali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come la “divisione regolare del piano”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ossia il replicarsi modulare -o l’ordinato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? graduale trasformarsi- delle stesse immagini da un lato all’altro di una superficie. L’inattesa simmetria complementare e la frequente inversione delle figure e degli sfondi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? i quali divengono a loro volta entità figurative,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come pure il sorprendente sfumare delle figure verso qualcosa di radicalmente “altro”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? denotano un gusto per il paradosso che trova però la sua massima espressione in un ulteriore e più circoscritto ambito di operosità artistica dello stesso autore: quello delle “figure impossibili” (v. Escher,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1991).
“Galleria di stampe”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Convesso e concavo”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Un altro mondo”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Alto e basso”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Casa di scale”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Relatività”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Salita e discesa”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Cascata”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rappresentano le opere più significative fra quelle denominate da Escher “giochi di relatività” ovvero figure assurde,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dove l’ispirazione surrealistica riferita ai soggetti raffigurati si coniuga alla palese volontà di realizzare immagini costruibili sulla carta ma impossibili a costruirsi nella realtà fisica. Nelle figure menzionate una scala che sale in cima ad un palazzo si ritrova alla fine,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? incredibilmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a piano terra; una cascata d’acqua a più livelli approda infine su un livello più alto di quello di partenza; e così via. Escher intende giocare sul conflitto tra artefatto grafico bidimensionale (dove certi artifici sono relativamente agevoli,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? valutandoli a posteriori; tutt’altro che facili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? però,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? da escogitare e raffigurare),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? artefatto plastico tridimensionale (dove certi artifici sono invece molto più ardui da realizzare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche se di fatto non è né impossibile né particolarmente difficile costruire scaltriti modelli tridimensionali che almeno da una angolazione prospettica presentino le stesse illusioni visive elaborate su superfici piane) e realtà fisica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dove certi artifici sono assolutamente irrealizzabili.
Dunque,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nella bidimensionalità del piano o mediante sofisticati modelli tridimensionali a prospettiva prefissata è possibile elaborare immagini non costruibili né minimamente plausibili nella realtà fisica. Dal punto di vista logico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? esiste una palese omologia strutturale con famose aporie come quella che segue:
“La seguente asserzione è vera”.
“La precedente asserzione è falsa”.
Anche qui gli esiti logici divengono paradossali come gli “impossibili” scambi di livelli spaziali nelle figure di Escher. Anche qui si abusa di una dimensione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? assolutizzandola come se ciò che in essa si trova fosse sempre e comunque plausibile. Ma non è né può essere così. Il disegno bidimensionale (in certa misura,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche un artefatto tridimensionale) si presta egregiamente a falsare la realtà fisica. Il liguaggio ordinario (in minore ma non trascurabile misura,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche ogni altro linguaggio artificiale e tecnico) più che mai,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? da che mondo è mondo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? serve piuttosto a dissimulare il pensiero e a falsare i dati di fatto che a rappresentarli così come sono. Ogni significante è d’altra parte il risultato provvisorio di un’avventurosa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? magmatica sedimentazione storica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? instabilmente co-variante in sintonia con aree semantiche in perenne evoluzione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? luoghi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? usi e contesti fra i quali si registrano notevoli differenziazioni ed incontrollabili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non sempre comunicanti processi settoriali di trasmutazione. Fenomeni di incomunicabilità e di equivocità verbale si verificano peraltro notoriamente anche nell’ambito di uno stesso nucleo familiare. Superando durevoli incongruenze ed equivoci,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? talora (non sempre) nuove modalità condivise di espressione finiscono con l’imporsi; per durare poi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? storicamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “lo spazio di un mattino”. Non c’è una sola logica nel linguaggio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? bensì un’innumerevole varietà,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? effettiva o potenziale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? di logiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? molte delle quali rubricabili come logiche “retoriche” o “ludiche”; tanto meno sussiste una sola logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non ludica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in espressioni come la surriportata coppia di frasi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? apparentemente dotata di senso ma in realtà assolutamente farneticante dal punto di vista della plausibilità pragmatica. Chi mai -e in quale “normale”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non schizofrenica o ludica condizione- pronuncerebbe a chicchessia quelle frasi?
Siamo ora in grado di formulare questa -provvisoria- conclusione: gli intelligenti “interdetti” di Russell attendono di essere integrati da approfonditi studi sulle relazioni intercorrenti fra i seguenti campi:
  1. linguaggio/i ordinario/i;
  2. linguaggio/i artificiale/i (tecnicamente organizzato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o rigorosamente formalizzato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o a terminologia univocamente definita,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? etc.);
  3. strutture schematico-topologiche;
  4. dimensione pragmatica;
dove c) e d) non potranno non assumere una funzione dirimente nei confronti d’ogni vera o presunta difficoltà di argomentazione sul piano logico-linguistico.

Considerazioni conclusive

Proposte di insegnamento non accademico ma prevalentemente ludico-esercitativo della logica non appaiono frequenti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? però neppure inesistenti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nell’attuale panorama formativo della scuola italiana. Chi scrive ha già peraltro compiuto congrue e non deludenti esperienze in questo ambito (v. Arezzo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1987). Un oggetto di indagine,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? esercizio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? riflessione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dissezione “anatomica” e valutazione critica come il surriportato “indovinello più difficile del mondo” può costituire -adattandone ovviamente le caratteristiche ai diversi livelli d’età dei discenti e alle opzioni metodologico-didattiche dell’insegnante- un utilissimo strumento di evoluzione delle capacità intellettuali dei nostri studenti. Non resta dunque se non auspicare che il presente contributo susciti qualche positiva risonanza in tutti quei professionisti dell’insegnamento che continuano a nutrire un’irrinunciabile (per quanto estremamente cauta e critica) fiducia nell’uso delle facoltà raziocinative.

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

ARISTOTELE (1970),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Organon,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a cura di G. Colli,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi; nuova edizione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Laterza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Bari.
AREZZO G. (1987),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Un esercizio di logica proponibile per l’insegnamento liceale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in “Orientamenti pedagogici”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anno XXXIV,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? n. 6,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? pp. 1082-1088.
BARONE F. (1964-65),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Logica formale e logica trascendentale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 2 voll.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Edizioni di “Filosofia”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
BLANCHÉ R. (1973),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La logica e la sua storia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Ubaldini,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Roma.
BOCHENSKI J.M. (1972),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La logica formale; vol. I: Dai Presocratici a Leibniz,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
BOEZIO S. (1969),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? De Hypotheticis Syllogismis,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a cura di L. Obertello,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Paideia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Brescia.
BOEZIO S. (1969),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Trattato sulla divisione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a cura di L. Pozzi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Liviana,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Padova.
BOOLOS G. S. e JEFFREY R. C. (1980). Computability and logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Cambridge University Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Cambridge.
CALOGERO G. (1967), Storia della logica antica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Laterza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Bari.
CASARI E. (1995),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Logica. TEA,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
COLLI G. (1969),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Filosofia dell’espressione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Adelphi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
COLLI G. (1982),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La ragione errabonda. Quaderni postumi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Adelphi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
COPI I. (1964),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Introduzione alla logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? trad. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Il Mulino,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Bologna.
DALLA CHIARA M. L. (1974),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Isedi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
DIOGENE LAERZIO (1976),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Vite dei filosofi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Laterza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Roma-Bari.
ESCHER M. C. (1991), Esplorando l’infinito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? tr. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Garzanti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
HUGUES G.H. - M.J. CRESSWELL (1973), Introduzione alla logica modale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? trad. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Il Saggiatore,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
KNEALE W.C. - KNEALE M. (1972),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Storia della logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? trad. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
LEWIS C.I. - LANGFORD C. H. (1982),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Symbolic Logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The Century Co,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? New York.
LUKASIEWICZ J. (1951),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Clarendon Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Oxford.
MORICONI E. (1994),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Discorso e significato. Introduzione alla logica contemporanea,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Nuova Italia Scientifica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Roma.
PENROSE R. (1989),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The emperor’s new mind,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Oxford University Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? New York.
PENROSE R. (1995),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Shadows of the mind,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Vintage,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? London.
ROGERS R. (1971),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Mathematical logic and formalized theories,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? North-Holland,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Amsterdam.
RUSSELL B. - WHITEHEAD A. N. (1910-1913),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Principia Mathematica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? University Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Cambridge.
SAINATI V. (1968),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Storia dell’« Organon » aristotelico; vol. I: Dai « Topici » al «De interpretatione »,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Le Monnier,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Firenze.
SMORINSKY O. (1977),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The Incompleteness Theorems,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in BARWISE (ed.),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Handbook of Mathematical Logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? North Holland,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Amsterdam.
SMULLYAN R. (1999),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The Riddle of Scheherazade and Other Amazing Puzzles,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Ancient & Modern (Harvest Book),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Harcourt Brace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Londra.
VIANO C.A. (1955),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La logica di Aristotele,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Taylor,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
WITTGENSTEIN L. (1976). Osservazioni filosofiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
]]> Additions:

“L’INDOVINELLO PIU’ CONFUSO DEL MONDO”

di Gaetano Arezzo
 Contents 
Premessa
Veri e presunti enigmi
“L’indovinello più difficile del mondo”
Secondo sotto-rompicapo
Terzo sotto-rompicapo
La presunta soluzione
Considerazioni critiche generali
Considerazioni conclusive
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE


Premessa

L’educazione logica non è certo riducibile a quanto esplicitamente indicato dai programmi ministeriali per la scuola primaria,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché da un lato il plesso delle tematiche meritevoli di precoce apprendimento (ma anche di apprendimento permanente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? lifelong) coincide con un complesso ambito interdisciplinare (sintattico-semantico-pragmatico-topologico-matematico-retorico) assai più ampio di quanto previsto dai predetti programmi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dall’altro perché l’educazione logica non può rinunciare ad una sua connaturata dimensione di “trasversalità”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero di presenza organica in tutte le discipline e in tutti i momenti salienti del processo educativo. Nè si deve peraltro dimenticare che capacità come il saper distinguere il discorso sensato da quello insensato e il saper riconoscere i loci communes argomentativi della politica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dell’economia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? della propaganda,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? del proselitismo ideologico e religioso e della pubblicità non possono non essere adeguatamente coltivate da parte di chiunque abbia a cuore la formazione di una sana coscienza critica nelle nuove generazioni di cittadini.
Non si può dunque mancare di consigliare agli educatori un personale (auto)addestramento nelle problematiche d’ordine logico afferenti all’insieme dei campi di apprendimento cui si introducono i discenti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come pure la costruzione di un repertorio di strumenti (didattici e ludico-esercitativi) idonei a motivare ed innescare nei discenti una riflessione individualizzata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nonchè autonome capacità di ulteriore apprendimento personalizzato.
In questa prospettiva trova spazio il presente lavoro,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con la sua proposta di analisi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? logica e logico-didattica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? di un enigma avente rilevanza emblematica ai fini della chiarificazione di certi snodi essenziali della polarità “logico-illogico”. La trattazione cercherà di uniformarsi a standards di competenza logica tutt’altro che specialistici,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nella convinzione che l’eventuale carenza di sofisticazione tecnica sia compensata dall’auspicata maggiore comprensibilità del discorso anche -forse- da parte di giovanissimi studenti di scuola secondaria.

Veri e presunti enigmi

Continuano a suscitare forti perplessità i veri o presunti enigmi e paradossi logici,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? solubili o insolubili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come pure le “aporie” e le antinomie di cui è piena la storia del pensiero filosofico e scientifico e di cui la celebre “antinomia di Russell” costituisce un esempio particolarmente lucido,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? formalmente ben focalizzato e ben chiarificato. “L’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento” si chiede Russell “comprenderà se stesso come elemento?”. Ebbene,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? al quesito non si dà risposta univoca. Se infatti si assume che l’insieme in questione comprende se stesso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ne deriverà che allora non è più l’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento; se si assume che non comprende se stesso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora non è più l’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento. L’esito dell’argomento è pertanto “antinomico”: comunque si risolva,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? si cade in un’insanabile negazione delle premesse. Con la sua antinomia Russell giunge in effetti ad un alto livello di consapevolezza dell’intrinseca struttura tipica -o addirittura “archetipica”- dei paradossi logici; ma al tempo stesso l’autore apre la strada ad una possibilità di evitamento delle antinomie. La “terapia anti-antinomica immunizzante” proposta dal coautore dei “Principia Mathematica” consiste essenzialmente nella “teoria dei tipi”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ossia nel rilevare come le antinomie sorgano allorchè uno o più enunciati (ovvero uno o più insiemi) implichino un auto-riferimento diretto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o un autoriferimento simmetrico/speculare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o un autoriferimento circolare (fra due o più enunciati o insiemi dello stesso livello o “tipo”),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o un auto-riferimento inglobante una generica “totalità” di enunciati o insiemi del proprio stesso tipo. Ne consegue la necessità di “prescrivere” agli enunciati o agli insiemi di riferirsi esclusivamente ad enunciati o insiemi di altro tipo (v. Russell e Whitehead,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1910-13). “L’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento” dovrà dunque intendersi come “l’insieme di tutti gli altri insiemi che non comprendono se stessi come elemento”. La soluzione di Russell ha però il limite che consiste nel non vagliare criticamente le modalità di costruzione delle enunciazioni paradossali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel non porsi i dovuti problemi sulla plausibilità sintattica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? semantica e soprattutto pragmatica delle enunciazioni antinomiche. Russell non scava nelle condizioni genetiche e nelle ragioni di fondo del sorgere delle antinomie.
I presunti “enigmi” apparentemente solubili ma contraddistinti da una troppo sofisticata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? controintuitiva procedura di risoluzione costituiscono nella gran parte dei casi il risvolto simmetrico delle antinomie,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel senso che certe presunte soluzioni degli enigmi non appaiono logicamente plausibili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e si prestano anzi ad insormontabili obiezioni per la loro intrinseca aporeticità o autocontraddittorietà (mascherata da un’apparente plausibilità verbale),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e soprattutto per il loro eccessivo fondarsi su pure e semplici formulazioni linguistiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non traducibili in limpide strutture schematico-topologiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? le sole suscettibili di autentica verifica intersoggettiva e di essere rapportate ad un’irrinunciabile dimensione pragmatica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? unico terreno idoneo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in ultima istanza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per sceverare il discorso sensato da quello insensato. Non appare minimamente superabile un tipico leit-motiv della riflessione del compianto Giorgio Colli (accompagnata da lucide argomentazioni come quelle enunciate nelle pagine conclusive di Filosofia dell’Espressione): ossia la convinzione che non può esistere una pura “logica formale”.
A questi motivi di perplessità ed insoddisfazione cercherà di fornire qualche ipotesi di risposta il presente lavoro,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che prenderà in esame una particolare ed aggiornata forma di “rompicapo” (il presunto “rompicapo più difficile del mondo”) confrontandone i passaggi e le difficoltà aporetiche con le più note aporie della tradizione. Dal lavoro di setaccio così effettuato si trarranno poi talune riflessioni d’ordine più generale.

“L’indovinello più difficile del mondo”

Su “La Repubblica” del 16 aprile 1992 comparve sul paginone centrale un lungo articolo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a firma di George Boolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? intitolato “L’indovinello più difficile del mondo”. Un elzeviro collocato in posizione mediana,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? firmato da Massimo Piattelli Palmarini,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? accreditava l’indovinello presentato da Boolos (in realtà già prima elaborato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in una forma semplificata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? da Raymond Smullyan - v. Smullyan,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1999) come “l’enigma di tutti gli enigmi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? cioè l’indovinello più difficile di ogni tempo”. Ad un’attenta analisi l’indovinello in questione si rivela come una variante sommativa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? particolarmente tortuosa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dei più classici enigmi escogitati nel corso dei secoli.
Il testo dell’indovinello è il seguente:
“Ci sono tre oracoli diversi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che possiamo chiamare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per esempio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? A,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? B,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e C. Uno di loro dice sempre e solo il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un altro dice sempre e solo il falso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e il terzo dice il vero o il falso in modo completamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? radicalmente imprevedibile (…) ci risponderanno nella loro lingua,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nella quale le parole per il ‘sì’ e per il ‘no’ sono ‘da’ e ‘ja’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e non sappiamo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? purtroppo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quale di questi suoni diversi significa ‘sì’ e quale significa ‘no’. Come fare? Quali domande rivolgere ai tre oracoli per smascherarli? (…) facendo solo tre domande,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che ammettono ciascuna una risposta costituita da un semplice ‘sì’ o un semplice ‘no’”.
Primo sotto-rompicapo
A questo punto Boolos afferma che
“per trovare la soluzione converrà partire da tre rompicapi più semplici e poi combinare queste soluzioni tra di loro”;
ed ecco il
“Primo sotto-rompicapo. Io metto tre carte da gioco,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? coperte,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? una accanto all’altra in fila orizzontale su un tavolo. Di queste tre carte due sono assi e una è un fante. Io so qual è il fante e quali sono i due assi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma voi no. Il vostro compito è di individuare uno dei due assi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? indicandomi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? senza scoprirla,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? una delle tre carte e facendomi una sola domanda che ammette una semplice risposta ‘sì’ oppure ‘no’ (…) io risponderò il vero se voi (a vostra insaputa) avete indicato un asso; e risponderò,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? invece,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a casaccio il vero o il falso se (sempre a vostra insaputa) avete indicato il fante”.
La soluzione del sotto-rompicapo è fornita qualche capoverso più avanti:
“Indicate la carta centrale e chiedetemi: ‘La carta di sinistra è un asso?’ Se io rispondo ‘sì’ scegliete la carta di sinistra. Se io rispondo ‘no’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? scegliete la carta di destra. Così facendo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? siete certi di scoprire un asso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? indipendentemente da qual è la carta centrale.
Infatti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? certamente la carta centrale è un asso o non lo è. (Una considerazione perfettamente ovvia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? sulla quale ritorneremo alla fine dell’articolo). Se (a vostra insaputa) la carta centrale è un asso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora io rispondo dicendo la verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? se se io rispondo ‘sì’ la carta di sinistra è davvero un asso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e se io rispondo ‘no’ la carta di destra è davvero un asso. Se la carta centrale è,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? invece,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il fante,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora io rispondo a casaccio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma ambedue le altre due carte sono assi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi scoprirete sempre e comunque un asso adottando la soluzione che ho suggerito”.
La soluzione data da Boolos al primo sotto-rompicapo è accettabile,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche se là dove dovrebbe chiarire i termini del problema ci appare laconica -quasi brachilogica- e,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per contro,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? là dove dovrebbe prospettare lo schema strutturale dell’enigma,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ci appare mantenuta sul piano delle argomentazioni meramente verbali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? prive di qualsiasi solido aggancio con un’auspicabile dimensione schematico-topologica che invece riteniamo non debba mai tralasciarsi in questo genere di riflessioni. Forniamo dunque una soluzione sostanzialmente omologa rispetto a quella di Boolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma strutturalmente più semplice a soprattutto topologicamente configurata.
Indicando,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ad esempio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la carta posta a sinistra (o quella a destra,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il che dà luogo semplicemente ad un’inversione simmetrica dei successivi passaggi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? mantenendone pienamente il valore logico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o quella posta davanti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o dietro: in una parola,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la carta posta ad uno degli estremi dello schema triadico) si chiede: “Questa carta è diversa da quella centrale?”. Percorriamo adesso le varie possibilità di risposta. Nel caso di una risposta veritiera un “sì” rivela,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? procedendo da sinistra a destra: A (asso) - F (fante) - A (asso) oppure F - A - A. Un “no” rivela: A - A - F. Nel caso di una risposta “inaffidabile” la carta indicata sarà (come da assunto preliminarmente enunciato) necessariamente un fante e di conseguenza la carta centrale e quella di destra saranno assi (F - A - A). Dunque,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un “sì” assicura comunque un asso nella carta di destra; un “no” un asso in posizione centrale.

Secondo sotto-rompicapo

Dopo aver assunto come ipotesi preliminare il fatto d’aver scoperto che l’oracolo di fronte a noi è sicuramente il Veritiero o il Menzognero (uno dei due,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non ancora svelatosi nella sua specificità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma comunque non l’Ambiguo),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Boolos afferma:
“Non dobbiamo chiedere all’oracolo direttamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? brutalmente: ‘E’ Dushanbe in Kirghizistan?’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma piuttosto: ‘Dici tu il vero se e solo se Dushanbe è in Kirghizistan?’ (…) 1) L’oracolo è veritiero e Dushanbe è in Kirghizistan,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi la risposta è ‘sì’ (ricordiamoci che l’oracolo ora ci risponde in italiano). 2) L’oracolo è veritiero e Dushanbe non è in Kirghizistan. La risposta è ‘no’. 3) L’oracolo è menzognero e Dushanbe non (sic! N.d.r.) è in Kirghizistan. La risposta sarà ‘sì’ perché solo una delle due frasi di partenza è vera,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quindi la risposta corretta sarebbe ‘no’,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma l’oracolo è menzognero e risponderà,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? invece,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con un ‘sì’. 4) L’oracolo è menzognero e Dushanbe non è in Kirghizistan. Con un ragionamento analogo verifichiamo che la risposta ora sarà ‘no’ (…) la risposta alla nostra domanda (…) sarà sempre e comunque ‘sì’ se Dushanbe è davvero in Kirghizistan; sempre e comunque ‘no’ se Dushanbe non è davvero in Kirghizistan. Questo vale a prescindere dal fatto che l’oracolo sia veritiero o menzognero”.
Le perplessità suscitate da questa presunta soluzione non sono poche né di poco conto. Innanzitutto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel punto 3) compare un fuorviante errore di stesura: un “non” che contraddice tutta l’intenzione enunciativa dell’intero paragrafo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il quale assume un senso soltanto se si differenzia dal punto 4) e dunque se recita ‘D. è in K.’. In secondo luogo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la stessa formulazione della domanda (“Dici tu il vero se e solo se D. è in K.?”) non appare convincente.
Un rispondente veritiero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? qualora sappia che D. non è in K.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? si troverà in posizione conflittuale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? giacchè se deve mantenere rigorosamente la consegna di dire sempre e soltanto la verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dovrà farlo con esaustiva,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ineccepibile chiarezza (o meglio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con la massima esaustiva chiarezza compatibile con le possibilità comunicative del linguaggio usato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fatalmente mai perfetto né assolutamente inequivoco) e quindi dovrà fornire una risposta articolata che sceveri i valori di verità o falsità delle componenti logico-enunciative del quesito proposto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? apparentemente semplice,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in realtà composito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per non dire complesso. Ma si trova invece costretto ad esprimere un laconico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? insufficiente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? oggettivamente falso e fuorviante monosillabo di conferma o di smentita. Rispondendo seccamente “no” rischia oltretutto di essere confuso con il menzognero del caso 4) e di introdurre così un insanabile fattore di confusione per l’interrogante.
In altre parole,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il quesito è mal posto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché artificiosamente composito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché intimamente contraddittorio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché “delirante” rispetto alle normali modalità d’uso comunicativo del linguaggio.
Qualora il Veridico sappia che D. è in K.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? egli non accetterà di attestare con un “sì” il fatto che dica il vero “se e solo se” D. è in K.; anzi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un autentico Veritiero non potrà che insorgere contro questa falsante limitazione della sua veridicità e sarà piuttosto indotto a proclamare: “No; io dico il vero a prescindere da dove si trovi D.”. Il suo eventuale rispondere con un secco “sì” deriva dall’obbligo di subire un gioco arbitrariamente imposto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che lo degrada a “larva” di veridico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anzi a diàbolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a sostanziale “fuorviatore”.
Quanto all’oracolo menzognero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rispondendo seccamente “sì” (se D. è in K.) si definisce in pratica “veritiero se e solo se D. è in K.”. Ma se la sua vincolante consegna sta nel dire l’esatto opposto della verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allora deve spacciarsi per “veritiero a prescindere da dove si trovi D.”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e dunque la sua risposta dovrebbe consistere in un secco “no”. Il Mendace si trova pertanto in una posizione conflittuale analoga a quella del Verace del caso 1). Il suo “sì” è una “larva” di mendacio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? un’arida,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? forzata,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? incompleta,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fuorviante risposta ingiunta dall’arbitrio di chi ha escogitato il (cosiddetto) enigma.
Se D. non è in K.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rispondendo “no” il Menzognero afferma in pratica: “non dico il vero se e solo se D. è in K.”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero “dico il vero se e solo se D. non è in K.”. Ma questa è almeno parte della verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e non è in ogni caso rispondente al criterio della Menzogna Totale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? secondo cui il Mendace dovrebbe sempre e comunque spacciarsi per il Verace.
In conclusione il secondo sotto-rompicapo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a differenza del primo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? appare mal formulato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ambiguo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? disorientante e del tutto inservibile ai fini della soluzione del (presunto) “indovinello più difficile del mondo”.

Terzo sotto-rompicapo

In quanto conseguente alla (presunta,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in realtà inconcludente) soluzione del secondo sotto-rompicapo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? teso alla preliminare scoperta del Veritiero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il terzo sotto-rompicapo (“Chiediamo all’oracolo che sappiamo essere verace…”) non risolve né supera le insormontabili ambiguità del secondo. Non sarà dunque necessario analizzarlo.

La presunta soluzione

Alla luce delle osservazioni critiche formulate sui sotto-rompicapi procediamo ora ad un’analisi della presunta soluzione fornita da Boolos,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? il quale così propone:
“Rivolgiamoci all’oracolo A (cioè al primo oracolo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? qualunque esso sia),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e facciamogli la prima domanda. Eccola: ’Significa da quello che noi intendiamo per sì se e solo se tu sei verace se e solo se l’oracolo B è quello Imprevedibile?’”.
Ci si potrebbe chiedere preliminarmente il motivo dell’inutile e fuorviante affastellarsi “a catena” delle condizioni (“se e solo se…se e solo se..”) con il conseguente possibile,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? inestricabile equivoco di una doppia condizione non sommativa bensi “moltiplicativa”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quando un’enunciazione meno oscura e meno scorretta sarebbe stata: “se e solo se… e se e solo se…”; ma non sottilizziamo. A questo punto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? se l’oracolo interrogato è verace (A ver.) e se la situazione degli altri oracoli è (schematicamente) B impr. e C mend.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la risposta sarà ‘da’ (= sì),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? mentre se si troveranno B mend. e C impr. la risposta sarà ‘ja’ (= no).
Ma se l’interrogato è mendace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rispondendo dovrà simultaneamente: a) contraddire la verità o la falsità di una clausola (‘se e solo se B è impr.’),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero spacciarla comunque per ciò che non è: vera se falsa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? falsa se vera; b) affermare falsamente o lasciar credere d’essere il Verace; c) dire il contrario di ciò che direbbe il Verace pur spacciandosi per il medesimo; d) invertire il senso di ‘da’ e ‘ja’. Ebbene,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in queste condizioni una risposta univoca risulta impossibile. Se l’oracolo optasse per falsificare soltanto parte delle suddette condizioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? farebbe una scelta del tutto arbitraria e praticamente “casuale”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? divenendo in tal modo indistinguibile dall’oracolo Ambiguo. Se optasse per falsificare tutte le condizioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rimarrebbe di fatto paralizzato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in quanto l’inversione falsificante di ciascun elemento si ripercuoterebbe ciclicamente sugli altri elementi oggetto del quesito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in una spirale senza fine. In altre parole: se deve negare d’essere il Mendace (condizione fondamentale ed esplicitamente posta dalla domanda),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e quindi spacciarsi per il Verace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come potrà invertire i rispettivi valori di verità o falsità di ciascuna delle condizioni contemplate dal quesito? E se attua tale inversione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come potrà spacciarsi per il Verace? E se elude del tutto il problema dello spacciarsi per Verace: a) come potrà con ciò stesso dimostrarsi autentico Mendace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ovvero “sistematico negatore dell’implicito valore di verità o falsità di tutte le asserzioni” e dunque distinguersi rispetto ad un occasionale ingannatore o all’oracolo Imprevedibile?; b) con quale ordine di priorità (che non è affatto indifferente) dovrà capovolgere l’implicito valore di verità o falsità delle altre condizioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fra loro già interconnesse dalla struttura stessa del quesito?; c) dovrà capovolgere la verità o falsità di ciascuna condizione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? approdando poi ad un tipo di risposta conclusiva (sintesi complessa delle singole risposte falsanti sulle diverse condizioni) che sarebbe la stessa del Verace (identificandosi di fatto con quest’ultimo)?; o d) dovrà comunque dare la risposta contraria a quella del Verace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche se il combinarsi delle menzogne dovesse infine approdare alla stessa risposta di quest’ultimo (come accade in altri paradossi del genere,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? quali “l’enigma del condannato” -che è però un enigma plausibile- ovvero delle due porte -conducenti l’una alla morte,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? l’altra alla fuga- e delle due guardie,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? l’una veritiera e l’altra menzognera)?
Ma soprattutto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? perché mai il Mendace dovrebbe sentirsi vincolato a rispettare la consegna logica (ovvero l’obbligante validità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? aprioristicamente assunta) del “se e solo se”? Non sarebbe proprio questo il primo caposaldo da sgretolare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ai fini dell’efficacia fuorviante d’una risposta radicalmente mendace?
Quale poi sia l’affidabilità della risposta dell’eventuale oracolo Imprevedibile (cui Boolos inspiegabilmente attribuisce un rigoroso rispetto dei “se e solo se” compresi nella domanda) lo si può immaginare senza difficoltà.
A questo punto soffermarsi sulla seconda e sulla terza domanda è del tutto superfluo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? sia perché fondate sulle presunte risultanze della prima (rivelatasi inconcludente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anzi improponibile),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? sia perché infarcite di ulteriori “se e solo se” esposti alle identiche insolubili difficoltà di quelli sopra analizzati.

Considerazioni critiche generali

L’”indovinello più difficile del mondo” si pone su un piano argomentativo analogo ma inverso rispetto a quello delle antinomie consacrate da millenni di tradizione. Là dove gli argomenti “classici” (come quello arcinoto del “mentitore”) hanno un esito aporetico per cui si innesca una “spirale senza fine”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? gli enigmi come quello di Boolos puntano invece -illusoriamente- ad una conclusione risolutiva del problema enunciato. La questione cruciale risiede nella valutazione della natura degli enigmi proposti e del contesto argomentativo in cui si collocano.
Si prenda,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ad esempio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? l’accennato enigma del “mentitore”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ossia di colui che asserendo “Io mento” (intendendo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nel senso più lato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “mento sempre,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? abitualmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche in questo stesso istante e in questo stesso mio dire”) davvero sta mentendo se assumiamo che dica il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e dice il vero se assumiamo che stia mentendo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e per entrambe queste assunzioni di senso in prima istanza si apre un “rimbalzo all’infinito”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? per cui se mente dice il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma allora mente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ma allora dice il vero,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e così via (v. Diogene Laerzio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1976).
Tuttavia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ben diverso si presenta il problema se si tiene doverosamente conto della dimensione pragmatica del discorso e del relativo contesto fattuale.
Se infatti il mentitore deve dire sempre,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? comunque e soltanto il contrario della verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e in quanto tale risulta pubblicamente noto ed anche pienamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? autoconsapevolmente coerente in questa sua singolare qualità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? chiunque abbia a che fare con lui lo giudicherà non un vero Mentitore,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? bensì un estroso Veridico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? che dicendo sietematicamente e conclamatamente il contrario della verità indica invece di fatto,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? chiaramente ed inequivocabilmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? proprio la verità,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? poiché (sa bene che) coglierà il vero chi (sa altrettanto bene che) dovrà optare per ciò che è l’opposto delle sue asserzioni,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? mendaci solo da un punto di vista linguistico-formale.
Chi intende mentire non formalmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? bensì in modo realmente efficace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non deve rendersi pubblicamente noto in quanto sistematico mentitore; deve,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? al contrario,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dissimularsi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? alternando e combinando avvedutamente verità e menzogna,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ed apparire credibile agli altri,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? allo scopo di ingannarli e fuorviarli.
In conclusione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? la menzogna autoproclamata e comunque notoria per la sua sistematicità risulta autocontraddittoria,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? e perciò,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? paradossalmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? fonte attendibile di verità.
Per quanto riguarda un ipotetico rispondente Inaffidabile (spesso presentato anche in molti altri presunti enigmi tramandati dalla storia e frequentissimamente messo in scena dai logici contemporanei),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? valgono analoghe considerazioni. Se è noto per la sua indefettibile attitudine,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nessuno praticherà con lui alcuna forma di interazione comunicativa (se non per estemporanea volontà di gioco). La sua consapevole inaffidabilità (avente forse un senso ludico ma del tutto priva di senso pragmatico anche per lui stesso) appena resa nota agli altri si autovanifica ipso facto a tutti gli effetti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? con l’immediata caduta d’ogni ulteriore interazione comunicativa che non sia di intenzionale delirio ludico.
L’Inaffidabile è dunque logicamente -e non solo pragmaticamente- un Inesistente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? tanto nella realtà vissuta quanto negli enigmi costruiti a tavolino giocando con le parole. L’Inaffidabile non è in grado di rispettare alcuna “consegna” logico-comunicativa né alcun impegno dialogico o comportamentale. Non accetta nessun “se e solo se” né alcun’altra condizione al mondo. La sua presenza negli enigmi è dunque del tutto insignificante.
Il Mendace sistematico e l’Inaffidabile sistematico sono pertanto figure artificiose,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? irreali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? generate dalla fantasia linguistica ma del tutto destituite di senso,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anzi di fatto “impossibili”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in una dimensione pragmatica. Il linguaggio può in effetti permettersi assemblaggi impropri,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? del tutto impraticabili dal punto di vista della realtà fisica e dell’esperienza vissuta.
E’ un po’ quello che accade nelle “figure impossibili” di Escher.
La produzione grafica di Escher è contraddistinta dall’attitudine a sperimentare insolite composizioni spaziali,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come la “divisione regolare del piano”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? ossia il replicarsi modulare -o l’ordinato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? graduale trasformarsi- delle stesse immagini da un lato all’altro di una superficie. L’inattesa simmetria complementare e la frequente inversione delle figure e degli sfondi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? i quali divengono a loro volta entità figurative,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? come pure il sorprendente sfumare delle figure verso qualcosa di radicalmente “altro”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? denotano un gusto per il paradosso che trova però la sua massima espressione in un ulteriore e più circoscritto ambito di operosità artistica dello stesso autore: quello delle “figure impossibili” (v. Escher,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1991).
“Galleria di stampe”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Convesso e concavo”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Un altro mondo”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Alto e basso”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Casa di scale”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Relatività”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Salita e discesa”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “Cascata”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? rappresentano le opere più significative fra quelle denominate da Escher “giochi di relatività” ovvero figure assurde,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dove l’ispirazione surrealistica riferita ai soggetti raffigurati si coniuga alla palese volontà di realizzare immagini costruibili sulla carta ma impossibili a costruirsi nella realtà fisica. Nelle figure menzionate una scala che sale in cima ad un palazzo si ritrova alla fine,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? incredibilmente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a piano terra; una cascata d’acqua a più livelli approda infine su un livello più alto di quello di partenza; e così via. Escher intende giocare sul conflitto tra artefatto grafico bidimensionale (dove certi artifici sono relativamente agevoli,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? valutandoli a posteriori; tutt’altro che facili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? però,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? da escogitare e raffigurare),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? artefatto plastico tridimensionale (dove certi artifici sono invece molto più ardui da realizzare,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche se di fatto non è né impossibile né particolarmente difficile costruire scaltriti modelli tridimensionali che almeno da una angolazione prospettica presentino le stesse illusioni visive elaborate su superfici piane) e realtà fisica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dove certi artifici sono assolutamente irrealizzabili.
Dunque,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nella bidimensionalità del piano o mediante sofisticati modelli tridimensionali a prospettiva prefissata è possibile elaborare immagini non costruibili né minimamente plausibili nella realtà fisica. Dal punto di vista logico,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? esiste una palese omologia strutturale con famose aporie come quella che segue:
“La seguente asserzione è vera”.
“La precedente asserzione è falsa”.
Anche qui gli esiti logici divengono paradossali come gli “impossibili” scambi di livelli spaziali nelle figure di Escher. Anche qui si abusa di una dimensione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? assolutizzandola come se ciò che in essa si trova fosse sempre e comunque plausibile. Ma non è né può essere così. Il disegno bidimensionale (in certa misura,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche un artefatto tridimensionale) si presta egregiamente a falsare la realtà fisica. Il liguaggio ordinario (in minore ma non trascurabile misura,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anche ogni altro linguaggio artificiale e tecnico) più che mai,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? da che mondo è mondo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? serve piuttosto a dissimulare il pensiero e a falsare i dati di fatto che a rappresentarli così come sono. Ogni significante è d’altra parte il risultato provvisorio di un’avventurosa,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? magmatica sedimentazione storica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? instabilmente co-variante in sintonia con aree semantiche in perenne evoluzione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? luoghi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? usi e contesti fra i quali si registrano notevoli differenziazioni ed incontrollabili,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non sempre comunicanti processi settoriali di trasmutazione. Fenomeni di incomunicabilità e di equivocità verbale si verificano peraltro notoriamente anche nell’ambito di uno stesso nucleo familiare. Superando durevoli incongruenze ed equivoci,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? talora (non sempre) nuove modalità condivise di espressione finiscono con l’imporsi; per durare poi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? storicamente,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? “lo spazio di un mattino”. Non c’è una sola logica nel linguaggio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? bensì un’innumerevole varietà,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? effettiva o potenziale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? di logiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? molte delle quali rubricabili come logiche “retoriche” o “ludiche”; tanto meno sussiste una sola logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non ludica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in espressioni come la surriportata coppia di frasi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? apparentemente dotata di senso ma in realtà assolutamente farneticante dal punto di vista della plausibilità pragmatica. Chi mai -e in quale “normale”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? non schizofrenica o ludica condizione- pronuncerebbe a chicchessia quelle frasi?
Siamo ora in grado di formulare questa -provvisoria- conclusione: gli intelligenti “interdetti” di Russell attendono di essere integrati da approfonditi studi sulle relazioni intercorrenti fra i seguenti campi:
  1. linguaggio/i ordinario/i;
  2. linguaggio/i artificiale/i (tecnicamente organizzato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o rigorosamente formalizzato,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? o a terminologia univocamente definita,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? etc.);
  3. strutture schematico-topologiche;
  4. dimensione pragmatica;
dove c) e d) non potranno non assumere una funzione dirimente nei confronti d’ogni vera o presunta difficoltà di argomentazione sul piano logico-linguistico.

Considerazioni conclusive

Proposte di insegnamento non accademico ma prevalentemente ludico-esercitativo della logica non appaiono frequenti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? però neppure inesistenti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? nell’attuale panorama formativo della scuola italiana. Chi scrive ha già peraltro compiuto congrue e non deludenti esperienze in questo ambito (v. Arezzo,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 1987). Un oggetto di indagine,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? esercizio,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? riflessione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? dissezione “anatomica” e valutazione critica come il surriportato “indovinello più difficile del mondo” può costituire -adattandone ovviamente le caratteristiche ai diversi livelli d’età dei discenti e alle opzioni metodologico-didattiche dell’insegnante- un utilissimo strumento di evoluzione delle capacità intellettuali dei nostri studenti. Non resta dunque se non auspicare che il presente contributo susciti qualche positiva risonanza in tutti quei professionisti dell’insegnamento che continuano a nutrire un’irrinunciabile (per quanto estremamente cauta e critica) fiducia nell’uso delle facoltà raziocinative.

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

ARISTOTELE (1970),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Organon,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a cura di G. Colli,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi; nuova edizione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Laterza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Bari.
AREZZO G. (1987),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Un esercizio di logica proponibile per l’insegnamento liceale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in “Orientamenti pedagogici”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? anno XXXIV,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? n. 6,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? pp. 1082-1088.
BARONE F. (1964-65),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Logica formale e logica trascendentale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? 2 voll.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Edizioni di “Filosofia”,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
BLANCHÉ R. (1973),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La logica e la sua storia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Ubaldini,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Roma.
BOCHENSKI J.M. (1972),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La logica formale; vol. I: Dai Presocratici a Leibniz,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
BOEZIO S. (1969),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? De Hypotheticis Syllogismis,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a cura di L. Obertello,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Paideia,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Brescia.
BOEZIO S. (1969),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Trattato sulla divisione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? a cura di L. Pozzi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Liviana,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Padova.
BOOLOS G. S. e JEFFREY R. C. (1980). Computability and logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Cambridge University Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Cambridge.
CALOGERO G. (1967), Storia della logica antica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Laterza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Bari.
CASARI E. (1995),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Logica. TEA,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
COLLI G. (1969),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Filosofia dell’espressione,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Adelphi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
COLLI G. (1982),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La ragione errabonda. Quaderni postumi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Adelphi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
COPI I. (1964),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Introduzione alla logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? trad. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Il Mulino,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Bologna.
DALLA CHIARA M. L. (1974),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Isedi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
DIOGENE LAERZIO (1976),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Vite dei filosofi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Laterza,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Roma-Bari.
ESCHER M. C. (1991), Esplorando l’infinito,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? tr. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Garzanti,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
HUGUES G.H. - M.J. CRESSWELL (1973), Introduzione alla logica modale,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? trad. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Il Saggiatore,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Milano.
KNEALE W.C. - KNEALE M. (1972),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Storia della logica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? trad. it.,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
LEWIS C.I. - LANGFORD C. H. (1982),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Symbolic Logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The Century Co,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? New York.
LUKASIEWICZ J. (1951),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Clarendon Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Oxford.
MORICONI E. (1994),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Discorso e significato. Introduzione alla logica contemporanea,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Nuova Italia Scientifica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Roma.
PENROSE R. (1989),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The emperor’s new mind,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Oxford University Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? New York.
PENROSE R. (1995),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Shadows of the mind,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Vintage,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? London.
ROGERS R. (1971),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Mathematical logic and formalized theories,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? North-Holland,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Amsterdam.
RUSSELL B. - WHITEHEAD A. N. (1910-1913),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Principia Mathematica,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? University Press,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Cambridge.
SAINATI V. (1968),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Storia dell’« Organon » aristotelico; vol. I: Dai « Topici » al «De interpretatione »,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Le Monnier,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Firenze.
SMORINSKY O. (1977),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The Incompleteness Theorems,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? in BARWISE (ed.),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Handbook of Mathematical Logic,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? North Holland,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Amsterdam.
SMULLYAN R. (1999),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? The Riddle of Scheherazade and Other Amazing Puzzles,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Ancient & Modern (Harvest Book),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Harcourt Brace,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Londra.
VIANO C.A. (1955),YmyqJgmVLYyWEsJSKF? La logica di Aristotele,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Taylor,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
WITTGENSTEIN L. (1976). Osservazioni filosofiche,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Einaudi,YmyqJgmVLYyWEsJSKF? Torino.
]]> AndreaRossato AndreaRossato 2004-12-18T11:39:45+01:00 Search IstitutoGiorgioColli Search IstitutoGiorgioColli phrase http://www.istitutocolli.org/wiki/TextSearch